Fondamenti della meccanica atomica
semiretta, per esso passano successivamente gli autovalori di ordine sempre più alto, e cioè un dato valore di λ si identifica con un autovalore di ordine
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e se f(x) all'infinito diviene infinitesima di ordine sufficiente, si può invertire il segno di lim con quello di integrale e si ha
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e se la F, per x = [simbolo eliminato] è infinitesima di ordine sufficiente, scompaiono il secondo ed il quarto termine e resta
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ordine superiore al 1°, o Q di ordine superiore al 2°, si dice che la singolarità è non fuchsiana ovvero essenziale.
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Il raggio del nucleo è dell'ordine di [numero eliminato] cm., quello dell'elettrone si ritiene non superiore a [numero eliminato] cm.
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Secondo questo modello, quello che si suol chiamare, piuttosto vagamente, «diametro dell'atomo» (e che abbiamo visto essere dell'ordine di [numero
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In molti casi non è necessario precisare il valore dei secondi membri delle (94), (95), ma basta tener presente che essi sono dell'ordine di
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dove è la distanza di F dal piano xy. Così le coordinate x ed y restano determinate con un' incertezza dell' ordine di grandezza di r:
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Nel caso più generale di orbite qualunque si troverebbe un risultato dello stesso ordine di grandezza, e cioè in generale
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Positroni, o elettroni positivi: carica positiva dell'ordine di e, peso dell'ordine di quello dell'elettrone negativo (probabilmente sono esattamente
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espressione di C, si riconosce nella (223') l'equazione differenziale delle funzioni sferiche di superficie di ordine l.
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Tali funzioni sono particolari funzioni sferiche (di superficie) di ordine l. Di queste, quella corrispondente a si riduce a
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che si può considerare come un'equazione di secondo ordine nella funzione , cioè : questa dunque soddisfa l'equazione
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L'equazione lineare del 2° ordine (291) si può trasformare in una del 1° ordine, ma non lineare (del tipo di Riccati) mediante la trasformazione, ben
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Il moto dell'elettrone ottico avviene, come si calcola facilmente, con velocità dell'ordine di , ossia dell'ordine di qualche millesimo di quella
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(1) In questo ordine di considerazioni, uno scalare significa una quantità costante (rispetto a ).
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condizione è indipendente dall'ordine dei due vettori).
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prodotto nell'ordine indicato è e nell'ordine inverso è .
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(si osservi, sotto punto di vista mnemonico, che scrivendo, come si è fatto, i due fattori e nell'ordine corrispondente a quello della (26), i due
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Osservazione sui casi di degenerazione. — Se è un autovalore multiplo di ordine p, cui corrispondono p autofunzioni ortogonali dette le proiezioni di
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d'ordine p.
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(1) Per includere anche i casi di degenerazione, bisogna ad ogni autovalore multiplo di ordine p far corrispondere nella (113) p termini separati.
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Tutte le formule dedotte fin qui valgono rigorosamente, cioè qualunque sia l'ordine di grandezza di . Ora sfruttiamo la circostanza che l'effetto
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(1) Più precisamente supponiamo tutte le piccole del primo ordine rispetto alle differenze : da ciò consegue che anche e le sono piccole del primo
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il che significa che deve essere un numero puramente immaginario, del resto arbitrario (purchè piccolo del primo ordine): prendendolo (1
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valori delle a, ma poichè queste figurano moltiplicate per quantità del primo ordine sarà sufficiente introdurvi i valori di prima approssimazione, cioè
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e potremo considerare le a come piccole del primo ordine rispetto all'unità, mentre le c sono da considerarsi in generale dell'ordine di grandezza di
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con che le risultano quantità piccole rispetto alle E (del primo ordine). Si noti che, nel caso della degenerazione completa, le sono tutte nulle.
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Poichè le L sono, al pari delle a, piccole del primo ordine, la seconda sommatoria sarà, in prima approssimazione, trascurabile, e resterà
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(dove il primo termine è dell'ordine dell'unità, e il secondo è una correzione, piccola del primo ordine), potremo scrivere la (184):
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Nella (189), la rappresenta il termine principale: come si vede, l'autofunzione imperturbata si approssima (a meno di termini del primo ordine) non a
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, multiplo d'ordine p, si scinderebbe in un gruppo di livelli, alcuni dei quali sarebbero ancora multipli (d'ordine ) malgrado la perturbazione (almeno in
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e alle sue p radici reali possono venire attribuiti gli indici 1, 2, ... p in un ordine qualunque: l'effetto della perturbazione è quello di
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multiplo d'ordine p. In tal caso le (185) divengono, essendo nulle le
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dove i coefficienti , (piccoli del primo ordine) sono legati ai dalle relazioni lineari seguenti, che si trovano subito usando la (190),
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) per k = i. Difatti, indicando con , i termini del secondo ordine, e trascurando quelli d'ordine superiore, cioè ponendo , la (209) dà, per k = i,
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ossia, trascurando il secondo termine (che si è preso nullo ed è, in ogni caso, del terzo ordine) e utilizzando la (206):
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dove gli elementi della matrice sono quantità piccole del primo ordine, che si tratta di determinare. La (213) diviene allora, ponendovi
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ovvero, poichè nell'ultimo termine si può sostituire con commettendo un errore del secondo ordine,
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dallo stato imperturbato, ossia che differisca poco da e precisamente per termini del primo ordine (questa approssimazione sarà dunque valida per un tempo
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(1) La formula rigorosa conterrebbe anche dei termini dell'ordine di rispetto agli altri, rappresentanti l'azione del campo elettrico sul magnete in
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Se ciascuna delle fosse vincolata solo da un'equazione differenziale del secondo ordine rispetto al tempo, bisognerebbe assegnare i valori iniziali
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(1) Analogamente, nella teoria elettromagnetica della luce, l'equazione delle onde (del 2° ordine) è conseguenza delle equazioni di Maxwell (del 1
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Sarà allora (trascurando gli infinitesimi di ordine superiore)
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dove le sono infinitesime del 1° ordine: la (314) si traduce nella condizione di emisimmetria:
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L'altro punto eventualmente singolare è r = 0: ivi le espressioni precedenti sono regolari se , mentre se divengono infinite dell'ordine di : tale
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Esaminiamo ora il caso della degenerazione, cioè supponiamo che En sia un autovalore multiplo d'ordine p, e sia
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degli atomi. sono dell'ordine di qualche volt: raramente superano i 20 volt.
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determinare tali dimensioni almeno come ordine di grandezza. Si è trovato che gli atomi hanno diametri dell'ordine di 10-8 cm., e che di questo ordine
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Hanno grande importanza, nella meccanica ondulatoria, le equazioni differenziali (a derivate ordinarie) lineari, omogenee, del secondo ordine, cioè
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Accademia della crusca
